Bonjour,
Cela pourrait être un problème de cache, ou l'utilisation d'une très ancienne version d'HikaShop, ou une extension de cookies qui ne fonctionnerait pas comme il faut sur le site.
Pour mieux pouvoir vous répondre, j'ai essayé de reproduire le problème directement sur votre site.
Cependant, en faisant la même chose que dans votre vidéo, tout à bien fonctionné pour moi. Pas de déconnexion, etc.
Donc je me demande si le problème n'est pas plutôt au niveau de votre navigateur qui serait configuré (ou via un module du navigateur) pour bloquer les cookies ? Car pour maintenir la session utilisateur ouverte, Joomla passe par les cookies.
En tout cas, avec un Chrome sous windows, ça fonctionne bien donc pas de raison que ce soit différent ailleurs en conditions normales d'utilisation.