Bin gerade mal auf deiner Site bis zum Checkout vorgedrungen (
www.inwo.at/test/warenkorb
).
Doch, da tut sich was, wenn du auf die Worte "PayPal" oder "Bank Transfer" klickst, und du kannst in der Browser-Konsole sehen, dass dann die Auswahl stattfindet.
Dir, d.h. offensichtlich deinem Joomla-Template, fehlt CSS, um das deutlich zu machen. Du hast z.B. überhaupt kein CSS für die Standard-Class "btn" oder so -- zeigt sich auch an anderer Stelle, z.B. weiter oben beim Anmeldeformular. Schalte z.B. mal zum Joomla-Template "Protostar" um, dann wird's deutlich.
Also... mindestens zwei Möglichkeiten:
Entweder CSS nachrüsten (selbermachen, oder bei der Template-Quelle nachfragen).
Oder "auf die Schnelle", wenn dich dieses und vermutlich noch mehr fehlendes CSS anderswo nicht stört, dann die folgenden Zeilen Custom CSS nachtragen, damit wenigstens die "Radio Buttons" sichtbar werden und der Mauszeiger über ihnen zur Hand wird:
.hikashop_checkout_page .hika-radio input[type="radio"] {
display: inherit !important;
cursor: pointer;
}